Boolean algebra (हिंदी में)- इसके Laws & De Morgan theorem – boolean algebra in hindi

Digital electronics हमारे gadgets को अलग ही लेवल पे विकसित कर रही है, इसके बिना किसी भी computerized device की कल्पना नहीं की जा सकती। हर device में कहीं ना कहीं डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक का योगदान है. आज हम इस पोस्ट में डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक के टॉपिक boolean algebra in hindi के बारे में गहराई से जानेंगे।

बूलियन अलजेब्रा क्या है – Boolean algebra in hindi

Boolean algebra एक विशेष प्रकार का गणित है, जिसमें केवल variable की दो values का अध्यन किया जाता है जो केवल True(1) और False (0) होती है. यह गणितीय विधि विभिन्न लॉजिकल संबंधों को व्यक्त करने के लिए उपयोग किया जाता है। इसमें Boolean algebra के मुख्य operations Negation (NOT) , disjunction(OR) और Conjunction (AND) है।

Boolean algebra को 1815-1864 के बीच अंग्रेजी गणितज्ञ “George Boole” द्वारा विकसित किया गया था। 

Computer के डिजिटल सर्किट्स में Boolean algebra लागू होता है इसका उपयोग कंप्यूटर और अन्य इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों में सिर्फ सही या गलत को दर्शाने वाले संदेश बनाने के लिए किया जाता है। इसका उपयोग set theory और statistics में भी किया जाता है.

Boolean Algebra के कुछ महत्वपूर्ण Rules

Boolean algebra के Laws को समझने से पहले ये कुछ rules है जिनको जानना महत्वपूर्ण है क्युकी जो boolean algebra के नियम होंगे उनमें ये symbols इस्तेमाल किये जाएंगे, जिनसे आप expression को समझेंगे :

  1. Boolean algebra में variables के केवल 2 मान हो सकते है 1 यानी true और 0 यानी False.
  2. Plus (+) operator variable के OR ऑपरेशन को दर्शाता है.
  3. Dot (.) operator variable के AND ऑपरेशन को दर्शाता है.
  4. ये symbol (‘) complement variable को प्रदर्शित करता है. जैसे A का complement (A’) होता है.

बूलियन अलजेब्रा के नियम – laws of boolean algebra in hindi

आईये नीचे कुछ मुख्य algebra के नियम के बारे में जानते है। जिनके द्वारा किसी भी boolean expressions को simplify किया जाता है, साथ में एक expression को simplify भी करेंगे।

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Distributive Law : इस नियम के अनुसार, अगर OR ऑपरेशन को दो या दो से अधिक variable पे परफॉर्म किया जाए और फिर उसके रिजल्ट पे AND ऑपरेशन एक variable के साथ लगाते है तो उसका रिजल्ट दो या दो से अधिक variable के साथ उस अकेले variable के AND के बराबर होगा।

Distributive law को ऐसे प्रदर्शित किया जाता है :-

  • A(B + C) = AB + AC
  • A + (B.C) = (A + B)(A + C)

Associative Law : ये law कहता है की अगर किसी variable की प्राथमिकता (priority) same है तो किसी भी order में variable पर operations perform किये जा सकते है।

Associative Law को इस प्रकार प्रदर्शित किया जाता है :-

  • A + (B + C) = (A + B) + C
  • A.(B.C) = (A.B).C

Commutative Law : इसके अनुसार, जो भी हमारे operand होंगे उनको interchange कर सकते है।

जैसे :-

  • A + B = B + A
  • A.B = B.A

Absorption Law : इसमें 4 laws आते है जिन्हे आप किसी भी expression ko simplify करने के लिए directly उपयोग कर सकते है.

  • B + (B.A) = B
  • B.(B + A) = B
  • A + A’.B = A + B
  • A.(A’ + B) = A.B

AND Law :- इसमें AND गेट के लॉजिकल operations को इस्तेमाल किया जाता है.

  • A.0 = 0
  • A.1 = A
  • A.A = A
  • A.A’ = 0

OR Law : इसमें OR गेट के लॉजिकल operations को इस्तेमाल किया जाता है.

  • A + 0 = A
  • A + 1 = A
  • A + A = A
  • A + A’ = 1

De Morgan theorem in Hindi

De morgan’s के दो नियम है, जो boolean experessions हल करने के काम आते है ये बहुत ही important theorem है जो एग्जाम में directly इसका question पूछ लिया जाता है. आईये इसे सरलता से टेबल के साथ समझते है.

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De-morgan’s First Law

Morgan’s का पहला नियम ये कहता है की अगर किन्ही दो variable पे AND ऑपरेशन perform किया जाए और उसके रिजल्ट पे NOT ऑपरेशन लगाए तो जो रिजल्ट आएगा वह OR ऑपरेशन के complement variable के बराबर आएगा. मतलब की AND के रिजल्ट का complement, OR ऑपरेशन के variable के complement के बराबर होता है. जोकि NAND के equivalent (समान) है। इसे equation में ऐसे प्रदर्शित किया जाता है

(A.B)’ = A’+B’

इसकी Truth Table नीचे दी गई है :

De-morgan’s Second Law :-

ये law first वाले law के एक दम विपरीत काम करता है. इसके दूसरे law के अनुसार किन्ही दो variable पे OR ऑपरेशन perform किया जाए और उसके रिजल्ट पे NOT ऑपरेशन लगाए तो जो रिजल्ट आएगा वह AND ऑपरेशन के complement variable के बराबर आएगा. मतलब की OR के रिजल्ट का complement, AND ऑपरेशन के variable के complement के बराबर होता है. जोकि NOR के equivalent (समान) है इसे equation में ऐसे प्रदर्शित करते है.

(A+B)’ = A’.B’

इसकी Truth Table नीचे दी गई है :

Boolean algebra की Properties

ये property बहुत ही महत्वपूर्ण है क्युकी यही हमें जटिल से जटिल expression solve करने में मदद करेंगी.

  1. Annulment property :-  जब कोई variable AND के साथ 0 हो तो वह रिजल्ट में 0 देगा और जब variable OR के साथ 1 हो तो उसका result 1 ही आता है. जैसे :- B.0 = 0 , B + 1 = 1
  1. Identity property :- जब variable AND के साथ 1 हो और OR के साथ 0 है तो result same रहता है.जैसे :- B.1 = B B + 0 = B
  2. Idempotent property :- जब variable AND और OR के साथ खुद होता है तो result में वह खुद आएगा यानी वही variable प्राप्त होगा. जैसे:- B.B = B B + B = B
  3. Complement property : – जब variable AND और OR के साथ complement में होता है तब उसका result 1 और देगा. जैसे:- B.B’ = 0, B + B’ = 1
  4. Double negation property : ये property कहती है की जब variable एक साथ दो negations के साथ आएगा तब उसका जो symbol है वो रिमूव करदेंगे जिससे original जो varible वो प्राप्त होता है. जैसे :- ((B’))’ = B
Duality Principle in Boolean Algebra in hindi :-

Boolean algebra में इस principle के अनुसार, जब OR को AND के साथ, AND को OR के साथ, 0 को 1 के साथ और 1 को 0 के साथ replace कर दिया जाए तो उसका dual प्राप्त होता है. जिससे हम किसी भी boolean expression को verify कर सकते है। नीचे टेबल मे दो ग्रुप दिए गए है group 1 और group 2, इसकी हर Row में 2 boolean expressions है जोकि dual है, duality principle की सहायता से इन सभी ग्रुप के expressions को verify किया जाता है।

GROUP 1GROUP 2
x + 0 = xx.1 = x
x + 1 = 1x.0 = 0
x + x = xx.x = x
x + x’ = 1x.x’ = 0
x + y = y + xx.y = y.x
x + (y + z) = (x + y) + zx.(y.z) = (x.y).z
x.(y + z) = x.y + x.zx + (y.z) = (x + y).(x + z)
Boolean algebra in hindi example :-

अब कुछ इन नियमों की सहायता से कुछ questions solve करके देखते है.

1. Simplify the below Boolean expression:

XYZ + XY’Z + XYZ

Solution:

XYZ + XY’Z + XYZ’ = XZ(Y + Y’) + XYZ’

= XZ + XYZ’, चुंकि Y + Y’ = 1 होता है.

= X(Z + YZ’)

= X[(Z + Y).(Z + Z’)], by distributive law

= X[(Z + Y).1], as Z + Z’ = 1

= X(Z + Y)

= X(Y + Z).

2. Draw the truth table for the expression: A = B’.C

The truth table for the given expression is given below:

इस टेबल में B’ निकलने के लिए B का 1’s complement लिया गया है. 1’s Complement का मतलब result को opposite कर देना, 1 को 0 और फिर 0 को 1 कर देना। फिर जब सारे variable की वैल्यू प्राप्त हो गयी है अब इसे A=B’.C equation में value रख लेंगे तो हमें नीचे final आउटपुट प्राप्त हो जाएंगे.

अंत में (Conclusion)

दोस्तों मैं आशा करता हु की ये boolean algebra in hindi का पोस्ट आपको ज़रूर पसंद आया होगा। हमने इस पोस्ट में हर संभव जानकारी देने की कोशिश की है. कृपया comment करके बताये की किस टॉपिक पे आपको और पोस्ट चाहिए हम उन्हें जल्दी से जल्दी लाएंगे.

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